Basamak Kavramı (Taban Aritmetiği)

Matematik

8 bir basamaklı, 78 iki basamaklı, 789 üç basamaklı, 7890 dört basamaklı bir doğal sayıdır.

Bir doğal sayıda kaç tane basamak varsa sayı o kadar basamaklıdır.

Taban Aritmetiği

a, b , c, d rakamları t doğal sayısından küçük olmak üzere, (abcd)t sayısının tabanı t dir.

(abcd)t =a.t³ + b.t² + c.t¹ + d.t° ifadesine sayının t tabanına göre çözümlenmesi denir.

⇨10 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Örnek; (79865)10 sayının tabanı 10 dur.

⇨7 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4,5,6

Örnek; (643102)7 sayısının tabanı 7 dir.

⇨5 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4

Örnek; (40314)5 sayısının tabanı 5 tir.

⇨2 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1

Örnek; (10010)2 sayısının tabanı 2 dir.

Şimdi Çözümlemelere bi bakalım; (10'luk sisteme çevirme)

10 luk sisteme çevrilirken sayı bulunduğu tabana göre çözümlenir.5 lik sisteme göre

⇨(1832)10 sayısını çözümleyelim.

(1832)10 =1.10³ + 8.10² +3.10¹ + 2.10°

=1000 + 800 + 30 + 2 = 1832

⇨(14302)5 sayısını çözümleyelim.

(14302)5 =1.5⁴ + 4.5³ +3.5² +0.5¹ + 2.5°

=625 + 4.125 + 3.25 + 0.5 + 2

=625+500+75+0+2 = 1202

Örnek Soru;

⇨ 5 lik sisteme göre üç basamaklı en büyük sayı 10 luk sisteme göre kaçtır?

Cevap;

5 lik sisteme göre en büyük sayı (444)5 tir.

Şimdi bu sayıyı çözümleyip 10 luk sisteme çevirelim.

(444)5 = 4.5² + 4.5¹ +4.5°

=100 + 20 + 4

=124 tür.

Örnek Soru;

⇨n ve (n+1) sayı tabanıdır.

(12)n + (140)n+1 = 85

ise n kaçtır?

Cevap;

Şimdi sayıları tek tek tabana göre çözümleyelim.

(12)n = 1.n¹ + 2.n° =n+2

(140)n+1 = 1.(n+1)² + 4.(n+1)¹ + 0.(n+1)°

=1.(n²+2.n+1)+4.n+4+0.1

=n²+6n+5

şimdi iki çözümlemeyi de soruda yerine koyalım.

(n+2)+(n²+6n+5)=85

n²+7n+7=85

n²+7n+78=0

(n+13)=0 ve (n-6)=0 kökleri bulunur.

Ekstra burada çarpanlara ayırmadan da kısaca bahsedelim.

13 ve 6 çarpımı 78 yapar. ancak 6 rakamının negatif olmasının nedeni n²+7n+78=0 ifadesinde ortada yer alan 7n değerinin kat sayısı olan 7 nin (13-6=7) bulunmasıdır.yani;

n² + 7n + 78 = 0
1n 13
X
1n -6
çarpraz çarpımın toplamı ortadaki sayının kat sayısını vermek zorunda.

Soruya dönecek olursak;

n+13=0 ⇨ n=-13

n-6=0 ⇨ n=6

n taban olduğu için 1 den büyük bir doğal sayı olmalıdır. Yani, -13 olamaz. Cevap 6 dır.

Örnek Soru;

5, sayı tabanı olmak üzere

(3aa)5 = 87

olduğuna göre, a kaçtır?

Cevap;

(3aa)5 = 3.5² + a.5¹ + a.5°

=75 + 5a + a = 6a+75 ise

6a + 75 = 87 ⇨ 6a=12 ⇨ a=2

Örnek Soru;

a sıfırdan farklı bir rakamı, 5 ve n sayı tabanı olmak üzere,

(aaa)5 = (aa)n

olduğuna göre , n kaçtır?

Cevap;

Şimdi tabanları ilk önce tek tek çözümleyelim sonra eşitleyelim.

(aaa)5 = a.5² +a.5¹ + a.5°

=31a

(aa)n = a.n¹ + a.n°

=a.n + a

Şimdi eşitleyelim;

an+a = 31a

an=30a ise n=30 dur.

10 luk sistemden herhangi bir sisteme çevirme

Verilen sayı hangi sisteme çevrilmek isteniyorsa, o sayıya ardışık olarak bölünür. Sondan başlanarak kalanların sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur. Örneği görünce daha iyi anlayacaksınız.

Örnek Soru;

5 sayı tabanını göstermek üzere;

143=(x)5

olduğuna göre x kaçtır?

Cevap;

143|5 28|5 5|5 1|5

-10 |28 ⇨ -25|5 ⇨ -5|1 - 0|0

43 3 0 1

- 40

143=(1033)5 olur. Kalanları tersten yazacaksın.

x = 1033

Kural; an doğal sayısı a tabanına göre yazılırsa (n+1) basamaklı bir sayı elde edilir.

Örnek Soru;

4³ doğal sayısı 4 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir doğal sayı elde edilir?

Cevap;

64|4 16|4 4|4 1|5

-4 |16 ⇨ -16|4 ⇨ -4|1 - 0|0

24 0 0 1

- 24

4³ sayısı 4 tabanında yazıldığında (n+1) yani 3+1 = 4 basamaklı bir sayı elde edilir.

4³ =(1000)4 olur.

Kural;10 luk sistemin dışında herhangi iki sistem arasında çevirme işlemi yapılırken; verilen sistemden 10 luk sisteme, 10 luk sistemden istenen sisteme geçirilir.

Örnek Soru;

2 ve 4 birer sayı tabanıdır.

(10011)2 = (x)4

olduğuna göre, x kaçtır?

Cevap;

Önce 2 tabanındaki sayıyı 10 luk sisteme çevirelim.

(10011)2 = 1.2⁴ + 1.2³ + 1.2² +1.2¹ + 1.2°

=16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

10 tabanındaki sayıyı da 4 lük sisteme çevirip x i bulalım.

19|4 4|4 1|4

-16 |4 ⇨ -4|1 ⇨ -0|0

3 0 1

(10011)2 =(19)10 = (103)4

x=103 tür.

Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma ve Çarpma İşlemleri

⇨Farklı tabanlarda; toplama, çıkarma, çarpma işlemleri 10 luk sistemdekine benzer şekilde yapılır.

⇨t tabanında iki sayı verildiğinde; bunlarla yapılacak işlemler normal cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç t sayısını geçerse içinden t ler atılıp kalan alınır. Alınan t adeti elde tutulur ve diğer basamağa eklenir.

⇨Çıkartma işleminde komşudan sayı alırken taban kadar alınır.

Örneğin;(Toplama)

(2442)5 Yandaki işlemi inceleyelim.

+ (443)5

(3440)5

Şimdi en sağdan işleme başlayalım. (2+3=5) işlemi 5 tabanında olduğu için 5-5=0(5:5=1/kalan 0) kalan yazılır sonuç devreder. ve elde var 1.

2. basamak ⇨4+4=8+1(Üstteki işlemden gelen 1) =9-5=4 ve elde var 1.

3. basamak ⇨ 4+4=8+1=9-5=4 elde var 1.

4. basamak ⇨ 2+0=2+1=3

Toplamda ⇨ 3440 (kırmızıları yan yana yazalım)

Örneğin; (Çıkarma)

(2442)5 Yandaki işlemi inceleyelim.

- (443)5

(1444)5

Şimdi en sağdan işleme başlayalım. (2 den 3 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın (5))

5+2-3=4

2. basamak ⇨4 bir taban verdin (4-1=3). 3 ten 4 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın.

5+3-4=4

3. basamak ⇨4 bir taban verdin. (4-1=3). 3 ten 4 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın.

5+3-4=4

4. basamak ⇨1

Çıkartma sonucu: 1444

Örneğin (Çarpma);

(142)5 Yandaki çarpma işlemini inceleyelim.

x (3)5

(1031)5

Çarpma işlemi içlerinde en zor olanıdır. Çünkü aynı anda toplamayı da içinde barındırır.

1. basamak ⇨ 3x2=6 ⇨ 6 nın içinde kaç tane 5 var?

6|5

- 5|1 ⇨Bölüm

1 ⇨ Kalan

Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var : 1.

2. Basamak ⇨ 4x3=12 +1(elde) =13

13|5

-10|2 ⇨Bölüm

3 ⇨ Kalan

Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var :2.

3.Basamak ⇨3x1=3 + 2(elde)=5

5|5

- 5|1 ⇨Bölüm

0 ⇨ Kalan

Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var 1.

Başka basamak olmadığı için bölüm kalanın sol yanına yazılır.

çarpma sonucu:1031

Örneğin(Çarpma);

(1110)2 Şimdi yandaki işlemi inceleyelim.

x (101)2

(1110)2

(0000)2

+(1110)2

(1000110)2

1. basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.

1110 x 1= 1110

2. Basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.

1110 x 0 = 0000

3.Basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.

1110 x 1= 1110

4. basamak ⇨Tüm sayıları çarptığımıza göre toplamaya geçelim.

en sağdaki 110 olduğu gibi aşağı iner. Taban olan ikiyi geçmiyor!

1+0+1=2-2=0 elde var 1. ⇨ Bir tane iki kullandık manasında (bölüm)

1+0=1+1(elde)=2-2=0 elde var 1.

1+1(elde)=0 elde var 1.( elde olan 1 başka basamak olmadığı için son bulunan sıfırın soluna yazılır.)

Çarpma Sonucu: 1000110

Karakutu