⇨20 sayısını tam olarak bölen pozitif tam sayıları bulalım.
1, 2, 4, 5, 10, 20 olmak üzere 6 tane pozitif tam böleni vardır.
⇾Ancak sorular yukarıdaki gibi tek tek bulunacak kadar kolay gelmiyor ne yazık ki.
⇾Daha zor ve büyük sayıların pozitif tam bölenini bulmak için aşağıdaki kuralı uygulamamız gerekiyor.
⇨A sayısını asal çarpanlarına ayır. a, b, c farklı asal sayılar ve k, m, n pozitif tam sayılar olsun.
A = ak . bm . cn
sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:
(k+1).(m+1).(n+1) dir.
Örneğin;
20 nin 6 tane pozitif tam sayı böleni olduğunu bulmuştuk. Şimdi de kuralın sağlamasını yapalım.
20 = 2².5¹
(2+1) . (1+1) = 6 PTS vardır.
Örneğin;
280 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısını(adetini), pozitif tam sayı bölenlerini, negatif tam sayı bölen sayısını ve negatif tam sayı bölenlerini bulunuz.
70|2 (3+1).(1+1).(1+1)=16 olur.
7|7
1|
PTS; 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 = 16 adet
Not: Bir tam sayının tam sayı bölenleri toplamı sıfırdır.
⇨Konuyu daha net görebilmek için 20 sayısına geri dönelim.
20 sayısını 1, 2, 4, 5, 10, 20 sayıları tam böler. Bunlar Pozitif Tam Sayı Bölenleridir.(PTSB)
20 sayısını aynı zamanda; -1, -2, -4, -5, -10, -20 sayıları tam böler. Bunlar Negatif Tam Sayı Bölenleridir. (NTSB) Toplamlarının sıfır olduğu açıkça gözlenebilir.
Örneğin;
420 000 000 sayısının asal bölenlerinin sayısını ve asal bölenlerini bulalım.
=2⁸.3.5⁷.7
2, 3, 5 ve 7 olmak üzere 4 adet asal böleni vardır.
Örneğin;
24.5n sayısının 48 tane tam böleni vardır.
Buna göre, n doğal sayısı kaçtır?
Cevap;
48 tane tam bölen sayısı varsa, 24 tane negatif tam bölen, 24 tane de pozitif tam bölen sayısı vardır.
=2.3.2.2.5n
=23.31.5n
olduğuna göre, hemen formülü uygulayalım.
(3+1).(1+1).(n+1) =24
8n+8=24
n=2 olur.
Örneğin;
n pozitif bir tam sayıdır.
16000...0
n tane
sayısının 60 tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, n kaçtır?
Cevap;
16.10n = 16.2n.5n
=24.2n.5n ⇨ =2n+4.5n
O zaman bize sadece kuralı uygulamak kalıyor;
(n+4+1).(n+1) =60 ise
(n+5).(n+1)= 6.10 yapar.
n=5 olur.
Örneğin;
$$\frac{2a+12}{a}$$
kesrinin 5 katı bir tam sayıdır.
Buna göre, a nın alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?
Cevap;
$$5.(\frac {2a+12}{a})=5.(\cancel{\frac{2a}{a}}+\frac{12}{a})$$
$$5(2+\frac{12}{a})=10+\frac{60}{a}, olur.$$
sonucunun bir tam sayı olabilmesi için a nın 60 ı tam bölen bir sayı olması gerekir.
60=2².3.5
=(2+1).(1+1).(1+1)=12 dir.
doğal sayı dediği için sadece pozitif tam bölenlerin sayısını bulduk.