Matematik etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
Matematik etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster

Temel Kavramlar Soru Çözümleri-2

Yorum   

 1) a ve b doğal sayı

a = 15 - x, b = x + 17 ifadeleri veriliyor. 

Buna göre a . b 'nin en büyük değeri kaçtır?

A) 256     B) 255    C) 225    D) 289     E) 250

 

2) a ve b doğal sayı

a . b = 16 , ise a + b ' nin  
en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
 

3) a ve b tam sayı
a . b = 16 , ise a + b ' nin  
en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
 

4) a, b , c negatif tam sayılardır.
$$\frac {a}{b} = {1}{2}, \frac {b}{c} = {3}{4}$$

ise a + b + c 'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

 

5)  a, b , c doğal sayılardır.
        4a = 5b
        6b = 7c  
olduğuna göre a+b+c
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
 

6) x, y, z, d birbirinden farklı doğal sayılardır.

x - y = 1 , y - z = 2 , z - d = 3 ise

x + y + z + d 'nin en küçük değeri kaçtır?

 

7) x, y ve z tam sayılardır.
x - y = z           ise        5x + y + z 
ifadesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 5     B)11    C) 12   D) 17     E) 21

 

8) x, y, z birbirinden farklı doğal sayılardır.

5x + 4y + z = 49 ise 

y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

 

9) a ve b doğal sayıdır. 
 4a + 5b = 30 ise 
 kaç farklı b sayısı vardır?

   

10) a ve b doğal sayıdır. 
 3a + 6b = 57 ise 
kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?

   

TYT Sınavı Matematik Soru Dağılımı 2013-2020 arası

Yorum   
Soru dağılımı
2013-2020		 20 19 18 17 16 15 14 13
Temel Kavramlar 1 4 4 4 3 - 4 2
Sayı Basamakları 1 2 1 2 2 1 - 2
Bölünebilme Kuralları 1 1 - - - 1 2 -
OBEB-OKEK - - - - - 2 1 2
Rasyonel Sayılar 3 1 - 1 1 1 2 1
Basit Eşitsizlikler 1 - 1 1 1 2 - 1
Mutlak Değer 1 1 1 1 1 1 1 1
Üslü Sayılar 1 1 - 2 2 2 2 1
Köklü Sayılar 1 1 1 2 3 1 - -
Çarpanlara Ayırma - - 1 1 1 - 2 1
Oran-Orantı 1 - - - 2 - 2 2
Denklem Çözme - 1 2 1 - 2 2 3
Problemler 13 12 11 11 13 10 8 10
Kümeler
Kartezyen Çarpım		 1 1 2 2 1 2 1 -
Mantık - - - 1 - 1 1 1
Fonksiyonlar 2 2 1 1 1 2 2 2
Polinomlar - - 1 - - - - -
Permütasyon
Kombinasyon		 2 1 1 1 1 1 1 1
Olasılık 1 1 2 1 1 1 1 1
İstatistik - 1 - - 1 1 - 1

Bölenlerin Bulunuşu

⇨20 sayısını tam olarak bölen pozitif tam sayıları bulalım.

1, 2, 4, 5, 10, 20 olmak üzere 6 tane pozitif tam böleni vardır. 

⇾Ancak sorular yukarıdaki gibi tek tek bulunacak kadar kolay gelmiyor ne yazık ki.

⇾Daha zor ve büyük sayıların pozitif tam bölenini bulmak için aşağıdaki kuralı uygulamamız gerekiyor.

⇨A sayısını asal çarpanlarına ayır. a, b, c farklı asal sayılar ve k, m, n pozitif tam sayılar olsun.

        A = ak . bm . cn

sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

        (k+1).(m+1).(n+1) dir.

Örneğin;

20 nin 6 tane pozitif tam sayı böleni olduğunu bulmuştuk. Şimdi de kuralın sağlamasını yapalım.

20 = 2².5¹

(2+1) . (1+1) = 6 PTS vardır.

Örneğin;

280 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısını(adetini), pozitif tam sayı bölenlerini, negatif tam sayı bölen sayısını ve negatif tam sayı bölenlerini bulunuz.

280|2        280=2³.5¹.7¹ olduğu için pozitif 
 140|2        tam sayı bölen sayısı;
  70|2       (3+1).(1+1).(1+1)=16 olur. 
  35|5       16 PTS ve 16 da Negatif TS vardır.
     7|7
      1|

PTS; 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 = 16 adet
NTS;-1,-2,-4,-5,-7,-8,-10,-14,-20,-28,-35,-40,-56,-70,-140,-280 = 16 adet

PTS + NTS = 0 dır.

Not: Bir tam sayının tam sayı bölenleri toplamı sıfırdır.

⇨Konuyu daha net görebilmek için 20 sayısına geri dönelim.

20 sayısını 1, 2, 4, 5, 10, 20 sayıları tam böler. Bunlar Pozitif Tam Sayı Bölenleridir.(PTSB)

20 sayısını aynı zamanda; -1, -2, -4, -5, -10, -20 sayıları tam böler. Bunlar Negatif Tam Sayı Bölenleridir. (NTSB) Toplamlarının sıfır olduğu açıkça gözlenebilir.

PTS + NTS = (1+2+4+5+10+20) + (-1-2-4-5-10-20) =0 dır.

Örneğin;

420 000 000 sayısının asal bölenlerinin sayısını ve asal bölenlerini bulalım.

Cevap;
420 000 000=42.10⁷ 
                    =6.7.10⁷
                    =2.3.7.10⁷
                    =2.3.7.2⁷.5⁷
                    =2⁸.3.5⁷.7

 2, 3, 5 ve 7 olmak üzere 4 adet asal böleni vardır.

Örneğin;

24.5n sayısının 48 tane tam böleni vardır.

Buna göre, n doğal sayısı kaçtır?

Cevap;

48 tane tam bölen sayısı varsa, 24 tane negatif tam bölen, 24 tane de pozitif tam bölen sayısı vardır. 

24.5n =6.4.5n
=2.3.2.2.5n
=23.31.5n

olduğuna göre, hemen formülü uygulayalım.

(3+1).(1+1).(n+1) =24

8n+8=24 

n=2 olur.

Örneğin;

n pozitif bir tam sayıdır.

16000...0
     n tane

sayısının 60 tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, n kaçtır?

Cevap;

16.10n = 16.2n.5n 

=24.2n.5n  ⇨ =2n+4.5n

O zaman bize sadece kuralı uygulamak kalıyor;

(n+4+1).(n+1) =60 ise

(n+5).(n+1)= 6.10 yapar.

n=5 olur.

Örneğin;

$$\frac{2a+12}{a}$$

kesrinin 5 katı bir tam sayıdır.

Buna göre, a nın alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?

Cevap;

$$5.(\frac {2a+12}{a})=5.(\cancel{\frac{2a}{a}}+\frac{12}{a})$$

$$5(2+\frac{12}{a})=10+\frac{60}{a}, olur.$$

sonucunun bir tam sayı olabilmesi için a nın 60 ı tam bölen bir sayı olması gerekir.

60=2².3.5

=(2+1).(1+1).(1+1)=12 dir.

doğal sayı dediği için sadece pozitif tam bölenlerin sayısını bulduk.

Videolu soruları çözmeye çalışın ardından da konu ile alakalı testler çözün.

Asal Sayılar / Asal Çarpanlar

 Aralarında Asal Olma

⇨1 den başka pozitif ortak böleni olmayan en az iki tam sayıya aralarında asal sayı denir.

Örneğin;

2 ile 3 aralarında asaldır.

8 ile 9 aralarında asaldır.

6 ile 8 aralarında asal değildir. Çünkü bu iki sayı 2 ile bölünür.

10 ile 35 aralarında asal değildir. Çünkü bu iki sayı 5 ile bölünür.


Örneğin;

a ve b doğal sayı olmak üzere, a + b ile a - b aralarında asaldır.

(a + b) . (a - b) = 19

olduğuna göre, a kaçtır?

Cevap;

a + b ve a - b aralarında asal ve

(a + b) . (a - b) = 19 ise

a + b = 19   ve a - b = 19 olur. Çünkü, 1 ve 19 aralarında asaldır.

 Denklemlerini taraf tarafa toplayıp, b yi yok edelim.

  a + b = 19
+a - b = 1
   2a = 20
    a = 10 olur.

Asal Çarpanlar

a, b , c birbirinden farklı asal sayılar; k, m , n pozitif tam sayılar olmak üzere;

        A = ak .bm .cn

ifadesi A asal sayısının çarpanlarına ayrılmış halidir. Örnekle anlatalım;

Örneğin;

1440 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

1440|2        1440 = 25 .32 .51
  720|2        
  360|2        2, 3 ,5 sayıların asal olduğuna
   180|2            Dikkat edin!
    90|2
    45|3
     15|3
      5|5
       1|

Örneğin;

2 100 000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Cevap;

2 100 000 = 21 . 100 000

                 =21.105

                 =3 . 7. (2.5)5

                 =3 . 7 . 25 . 55 

Not: 21.105 biçiminde yazmak çarpanlara ayırmak değildir. Tabanları illa ki asal sayılardan oluşmalıdır.

Bölme ve Bölünebilme -2

 Bölünebilme Kuralları

1) 2 ile Bölünebilme;

→ Çift sayılar 2 ile tam bölünür.

Örneğin; 200, 102, 122, 4144,1000010

→Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

Örneğin;11,143,513,6449

2) 3 ile Bölünebilme;

→Rakamları toplamı 3 ve 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Örneğin;612 sayısı 3 ile tam bölünür.

 Çünkü; 6+1+2=9 üçün iki katıdır.

→Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanla aynıdır.

Örneğin;

718325 sayısının 3 ile bölümünden kalana bakalım.

7+1+8+3+2+5=26

26 nın 3 ile bölümünden kalan 2 dir. 

718325 sayısının 3 ile bölümünden kalan da 2 dir.

Örneğin;

MN, 3 ile tam bölünebilen iki basamaklı bir sayıdır.

Buna göre dört basamaklı 7MN4 sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap;

7MN4 sayısını açalım.

7+M+N+4 ⇨M+N+11

Sorunun tanım kısmından anladığımız M+N ifadesinin 3 ün katı bir sayı olmasıdır.

M+N ifadesi yerine 3k yazarsak sorun çözülecek gibi duruyor.

M+N+11⇨3k+11⇨3k+9+2⇨3(k+3)+2

3(k+3)+2 ifadesini anlamadıysanız Bölme ve Bölünebilme-1 konusunu tekrar okuyunuz.

Bu sayının 3 ile bölümünden kalan 2 dir. 

Sorunun kısa yolu da toplamı 3 yapan değer vermektir. Mesela bu soru için MN ifadesi yerine toplamı üç yapan 12 yazılırsa soru daha kolay çözülecektir.

 3) 4 ile Bölünebilme;

→Son iki rakamı 4 ve 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

→Sonu 00 olan sayılar da 4 ile tam bölünür.

Örneğin; 300,200,412,404,142572...

→Bir sayının 4 ile bölümünden kalan sayı ile son iki rakamının bölümünden kalan ile aynıdır.

Örneğin;

412627 sayısının 4 ile bölümünden kalana bakalım.

Cevap;

27 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 tür. 412627 sayısının 4 ile bölümünden kalan da 3 tür.

Örneğin; (Çıkmış Soru)

Rakamları birbirinden farklı, 4 e kalansız bölünebilen, 6 basamaklı  en küçük sayının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap;

6 basamaklı 4 e tam bölünebilen pozitif tam sayı; 102348 (rakamları farklı en küçük)dir.

1+0+2+3+4+8=18 dir.

Soruda şöyle bir açık var. Pozitif olduğu söylenilmemiş. Verilmediği için biz öyle olduğunu var sayıyoruz. Soruyu soranların da öyle varsaydığı kesin. Sayının negatif olduğu varsayılırsa;

sayı⇨ -987652 olacaktı.

4) 5 ile bölünebilme;

→Birler basamağında 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Örnek; 100, 68956245, 5 ,25 , 50....

→Bir sayının bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki sayının 5 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

Örneğin;

Dört basamaklı 52mn sayısı 5 ile tam bölünebildiğine göre m + n en fazla kaç olabilir?

Cevap;

52mn sayısı 5 ile tam bölünebildiğine göre n sayısı 0 ve ya 5 tir. 

m + n ifadesinin en büyük değeri istendiğine göre ;

m=9 ve n=5 olmalıdır. 

m + n ⇨ 9 + 5 = 14 tür.

5) 9 ile Bölünebilme;

→ Rakamları toplamı 9 ve 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

→ Bir sayının 9 ile bölümünden kalan ile rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

Örneğin;

558558558 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

5 + 5 + 8 +5 + 5 + 8 +5 + 5 + 8 = 54

54 ⇨ 9 un 6 katıdır. Yani 9 a tam bölünür. Kalan=0 dır.

6) 11 ile Bölünebilme;

a0 , a1 , a2 , a3 ..., an birer rakam olmak üzere,

n + 1 basamaklı A sayısı (A=a0 a1 a2 a3 a4 a5.....an) olsun. A sayısının 11 ile bölünebilmesi için;

→sayının basamakları birler basamağından başlanarak + ve - işaretleriyle sınıflandırılır.

(a0+a2+a4+....) - (a1+a3+a5+...) = 11.k  olmalıdır.

Diyelim ki sayı 11 ile tam bölünmüyor. Yine yukarda gösterilen denklemi yapacaz. :)

Yani, + lı sayılar ve - li sayılar arasındaki farkın 11 ile bölümünden kalana bakacağız. Şimdi bir örnekle daha iyi anlayacaksınız. 

Örneğin;

80960 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap;

Birler basamağından başlayarak sırayla + ve - yazalım.

 8 0 9 6 0
+  - +  - +

Artı verdiklerimizi bir tarafa, eksi verdiklerimizi diğer tarafa sınıflandırıp fark alalım.

(8+9+0) - (0+6)=11

11 sayısının 11 ile bölümünden kalan 0 (sıfır)dır.

Örneğin;

Beş basamaklı 2A473 sayısı 11 ile tam bölünebiliyorsa, A kaçtır?

Cevap;

2 A 4 7 3
+  - + - +

(2+4+3) - (A + 7) = 11.k

9-7-A = 11.k

2 - A = 11.k ⇨k=0 için;

A=2 dir.

Genel Kurallar

⇨ a ve b pozitif tam sayı olmak üzere, hem a ya hem de b ye tam bölünen sayılar a . b ile de tam bölünürler.

2 ve 5 ile bölünebilen sayı 10 ile bölünür.

2 ve 9 ile bölünebilen sayı 18 ile bölünür.

3 ve 4 ile bölünebilen sayı 12 ile bölünür.

3 ve 5 ile bölünebilen sayı 15 ile bölünür.

4 ve 5 ile bölünebilen sayı 20 ile bölünür.

5 ve 6 ile bölünebilen sayı 30 ile bölünür.

5 ve 12 ile bölünebilen sayı 60 ile bölünür.

 

⇨Yukarıdaki kuralın tam tersi olarak a.b ile bölünebilen bir sayı hem a ile hem de b ile bölünür.

Örneğin ; 120 sayısı 10 ile tam bölünür. Ancak 2 ve 5 e de tam bölünür.

⇨Diğer konuya geçmeden önce videolu çözümlü soruları detaylı inceleyip, kendinizi test edin. bu konu ile ilgili en az 10 online test çözerek kendinizi geliştirin.

reklam alanı