8 bir basamaklı, 78 iki basamaklı, 789 üç basamaklı, 7890 dört basamaklı bir doğal sayıdır.
Bir doğal sayıda kaç tane basamak varsa sayı o kadar basamaklıdır.
Taban Aritmetiği
a, b , c, d rakamları t doğal sayısından küçük olmak üzere, (abcd)t sayısının tabanı t dir.
(abcd)t =a.t³ + b.t² + c.t¹ + d.t° ifadesine sayının t tabanına göre çözümlenmesi denir.
⇨10 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Örnek; (79865)10 sayının tabanı 10 dur.
⇨7 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4,5,6
Örnek; (643102)7 sayısının tabanı 7 dir.
⇨5 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1,2,3,4
Örnek; (40314)5 sayısının tabanı 5 tir.
⇨2 tabanında kullanılan rakamlar = 0,1
Örnek; (10010)2 sayısının tabanı 2 dir.
Şimdi Çözümlemelere bi bakalım; (10'luk sisteme çevirme)
10 luk sisteme çevrilirken sayı bulunduğu tabana göre çözümlenir.5 lik sisteme göre
⇨(1832)10 sayısını çözümleyelim.
(1832)10 =1.10³ + 8.10² +3.10¹ + 2.10°
=1000 + 800 + 30 + 2 = 1832
⇨(14302)5 sayısını çözümleyelim.
(14302)5 =1.5⁴ + 4.5³ +3.5² +0.5¹ + 2.5°
=625 + 4.125 + 3.25 + 0.5 + 2
=625+500+75+0+2 = 1202
Örnek Soru;
⇨ 5 lik sisteme göre üç basamaklı en büyük sayı 10 luk sisteme göre kaçtır?
Cevap;
5 lik sisteme göre en büyük sayı (444)5 tir.
Şimdi bu sayıyı çözümleyip 10 luk sisteme çevirelim.
(444)5 = 4.5² + 4.5¹ +4.5°
=100 + 20 + 4
=124 tür.
Örnek Soru;
⇨n ve (n+1) sayı tabanıdır.
(12)n + (140)n+1 = 85
ise n kaçtır?
Cevap;
Şimdi sayıları tek tek tabana göre çözümleyelim.
(12)n = 1.n¹ + 2.n° =n+2
(140)n+1 = 1.(n+1)² + 4.(n+1)¹ + 0.(n+1)°
=1.(n²+2.n+1)+4.n+4+0.1
=n²+6n+5
şimdi iki çözümlemeyi de soruda yerine koyalım.
(n+2)+(n²+6n+5)=85
n²+7n+7=85
n²+7n+78=0
(n+13)=0 ve (n-6)=0 kökleri bulunur.
Ekstra burada çarpanlara ayırmadan da kısaca bahsedelim.
13 ve 6 çarpımı 78 yapar. ancak 6 rakamının negatif olmasının nedeni n²+7n+78=0 ifadesinde ortada yer alan 7n değerinin kat sayısı olan 7 nin (13-6=7) bulunmasıdır.yani;
n² + 7n + 78 = 0
1n 13
X
1n -6
çarpraz çarpımın toplamı ortadaki sayının kat sayısını vermek zorunda.
Soruya dönecek olursak;
n+13=0 ⇨ n=-13
n-6=0 ⇨ n=6
n taban olduğu için 1 den büyük bir doğal sayı olmalıdır. Yani, -13 olamaz. Cevap 6 dır.
Örnek Soru;
5, sayı tabanı olmak üzere
(3aa)5 = 87
olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap;
(3aa)5 = 3.5² + a.5¹ + a.5°
=75 + 5a + a = 6a+75 ise
6a + 75 = 87 ⇨ 6a=12 ⇨ a=2
Örnek Soru;
a sıfırdan farklı bir rakamı, 5 ve n sayı tabanı olmak üzere,
(aaa)5 = (aa)n
olduğuna göre , n kaçtır?
Cevap;
Şimdi tabanları ilk önce tek tek çözümleyelim sonra eşitleyelim.
(aaa)5 = a.5² +a.5¹ + a.5°
=31a
(aa)n = a.n¹ + a.n°
=a.n + a
Şimdi eşitleyelim;
an+a = 31a
an=30a ise n=30 dur.
10 luk sistemden herhangi bir sisteme çevirme
Verilen sayı hangi sisteme çevrilmek isteniyorsa, o sayıya ardışık olarak bölünür. Sondan başlanarak kalanların sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur. Örneği görünce daha iyi anlayacaksınız.
Örnek Soru;
5 sayı tabanını göstermek üzere;
143=(x)5
olduğuna göre x kaçtır?
Cevap;
143|5 28|5 5|5 1|5
-10 |28 ⇨ -25|5 ⇨ -5|1 - 0|0
43 3 0 1
- 40
3
143=(1033)5 olur. Kalanları tersten yazacaksın.
x = 1033
Kural; an doğal sayısı a tabanına göre yazılırsa (n+1) basamaklı bir sayı elde edilir.
Örnek Soru;
4³ doğal sayısı 4 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir doğal sayı elde edilir?
Cevap;
64|4 16|4 4|4 1|5
-4 |16 ⇨ -16|4 ⇨ -4|1 - 0|0
24 0 0 1
- 24
0
4³ sayısı 4 tabanında yazıldığında (n+1) yani 3+1 = 4 basamaklı bir sayı elde edilir.
4³ =(1000)4 olur.
Kural;10 luk sistemin dışında herhangi iki sistem arasında çevirme işlemi yapılırken; verilen sistemden 10 luk sisteme, 10 luk sistemden istenen sisteme geçirilir.
Örnek Soru;2 ve 4 birer sayı tabanıdır.
(10011)2 = (x)4
olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap;
Önce 2 tabanındaki sayıyı 10 luk sisteme çevirelim.
(10011)2 = 1.2⁴ + 1.2³ + 1.2² +1.2¹ + 1.2°
=16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19
10 tabanındaki sayıyı da 4 lük sisteme çevirip x i bulalım.
19|4 4|4 1|4
-16 |4 ⇨ -4|1 ⇨ -0|0
3 0 1
(10011)2 =(19)10 = (103)4
x=103 tür.
Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma ve Çarpma İşlemleri
⇨Farklı tabanlarda; toplama, çıkarma, çarpma işlemleri 10 luk sistemdekine benzer şekilde yapılır.
⇨t tabanında iki sayı verildiğinde; bunlarla yapılacak işlemler normal cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç t sayısını geçerse içinden t ler atılıp kalan alınır. Alınan t adeti elde tutulur ve diğer basamağa eklenir.
⇨Çıkartma işleminde komşudan sayı alırken taban kadar alınır.
Örneğin;(Toplama)
(2442)5 Yandaki işlemi inceleyelim.
+ (443)5
(3440)5
Şimdi en sağdan işleme başlayalım. (2+3=5) işlemi 5 tabanında olduğu için 5-5=0(5:5=1/kalan 0) kalan yazılır sonuç devreder. ve elde var 1.
2. basamak ⇨4+4=8+1(Üstteki işlemden gelen 1) =9-5=4 ve elde var 1.
3. basamak ⇨ 4+4=8+1=9-5=4 elde var 1.
4. basamak ⇨ 2+0=2+1=3
Toplamda ⇨ 3440 (kırmızıları yan yana yazalım)
Örneğin; (Çıkarma)
(2442)5 Yandaki işlemi inceleyelim.
- (443)5
(1444)5
Şimdi en sağdan işleme başlayalım. (2 den 3 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın (5))
5+2-3=4
2. basamak ⇨4 bir taban verdin (4-1=3). 3 ten 4 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın.
5+3-4=4
3. basamak ⇨4 bir taban verdin. (4-1=3). 3 ten 4 çıkmaz. Komşuya gittin bir taban aldın.
5+3-4=4
4. basamak ⇨1
Çıkartma sonucu: 1444
Örneğin (Çarpma);
(142)5 Yandaki çarpma işlemini inceleyelim.
x (3)5
(1031)5
Çarpma işlemi içlerinde en zor olanıdır. Çünkü aynı anda toplamayı da içinde barındırır.
1. basamak ⇨ 3x2=6 ⇨ 6 nın içinde kaç tane 5 var?
6|5
- 5|1 ⇨Bölüm
1 ⇨ Kalan
Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var : 1.
2. Basamak ⇨ 4x3=12 +1(elde) =13
13|5
-10|2 ⇨Bölüm
3 ⇨ Kalan
Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var :2.
3.Basamak ⇨3x1=3 + 2(elde)=5
5|5
- 5|1 ⇨Bölüm
0 ⇨ Kalan
Kalan sonuca yazılır, bölüm elde olarak alınır. Yani elde var 1.
Başka basamak olmadığı için bölüm kalanın sol yanına yazılır.
çarpma sonucu:1031
Örneğin(Çarpma);
(1110)2 Şimdi yandaki işlemi inceleyelim.
x (101)2
(1110)2
(0000)2
+(1110)2
(1000110)2
1. basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.
1110 x 1= 1110
2. Basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.
1110 x 0 = 0000
3.Basamak ⇨ çarpma işlemi sonucu basamağı geçmiyorsa aynen yazılır. Çünkü kalan zaten sayının kendisidir.
1110 x 1= 1110
4. basamak ⇨Tüm sayıları çarptığımıza göre toplamaya geçelim.
en sağdaki 110 olduğu gibi aşağı iner. Taban olan ikiyi geçmiyor!
1+0+1=2-2=0 elde var 1. ⇨ Bir tane iki kullandık manasında (bölüm)
1+0=1+1(elde)=2-2=0 elde var 1.
1+1(elde)=0 elde var 1.( elde olan 1 başka basamak olmadığı için son bulunan sıfırın soluna yazılır.)
Çarpma Sonucu: 1000110
